오늘은 퀴스킷 텍스트북의 Basic of quantum computation - Quantum circuit -Limitations on quantum information 의 챕터의 첫번째 주제를 소개하려고 한다. 링크는 본문 제일 아래에 있다.
양자 정보의 제한 챕터에서는 3가지의 제한을 소개한다.
1. 글로벌 위상의 무관계성
2. 복제불가능정리
3. 비직교상태는 완전히 판별 불가능
이중 첫번째인 글로벌 위상의 무관계성에 대해서 텍스트북을 읽고 내가 이해한 대로 소개하려고 한다. (틀린 부분이 있을 수도 있으니 양해 부탁드립니다.)
3.1. 글로벌 위상의 무관계성(Irrelevance of global phases)
'글로벌 위상만 다른 양자상태는 관측으로는 구별을 할 수가 없다'는 것이 첫번째 제한이다.
수식도 함께 쓰면,
$$ |\phi\rangle=\alpha|\psi\rangle, (\alpha =e^{i\theta}), |\alpha|^2 =1, \theta = 실수)$$
이러한 관계를 가진 \(\psi\) 와 \(\phi\) 는 관측으로 구별이 불가능하다. 고 쓸 수 있다.
(참고)글로벌 위상
먼저 글로벌 위상이 뭔지 알아보자.
글로벌 위상은 예를 들어 \(|1\rangle\) 의 상태와 \(-|1\rangle\), \(e^{i\theta} |1\rangle\) 의 상태를 비교했을 때, \(|1\rangle\) 앞에 붙는\(-1\),\(e^{i\theta}\)을 글로벌 위상이라고 한다.
$$|1\rangle$$ vs $$-|1\rangle$$ vs $$e^{i\theta} |1\rangle$$
\(|0\rangle+|1\rangle\)의 상태를 예로 들자면, \(-|0\rangle-|1\rangle\)
(참고)상대위상
글로벌 위상의 개념에 반하여, 상대 위상이 무엇인지도 알아보자.
상대 위상은 예를 들어 \(|0\rangle+|1\rangle\)의 상태와 \(|0\rangle-|1\rangle\)의 상태를 비교했을 때
(참고)양자 상태의 위상
두 양자상태 \(\psi \)와 \(\phi \)가 위상만 \(\theta \)만큼 다를 때,
상태 벡터의 표기는 $$ |\phi\rangle=e^{i\theta}|\psi\rangle$$ 로 쓸 수 있다.
증명
명제만 알아두면 되지만 증명이 엄청 간단하고 양자 정보의 기초적인 수학/물리를 배울 수 있는 것이라 소개하려고 한다.
앞에서 소개한, 글로벌 위상만 다른 \(\psi\)와 \(\phi\)는 아래의 수식으로 쓸 수 있다.
$$ |\phi\rangle=\alpha|\psi\rangle, (\alpha =e^{i\theta}), |\alpha|^2 =1, \theta = 실수)$$
증명은 \(\psi\)와 \(\phi\)에서 임의의 고전상태(0 또는 1)의 관측 확률을 각각 구해서 결과가 같다는 것을 이용하여 증명해 보인다.
\(\psi\)에서 고전 상태 a를 관측할 확률은 $$|\langle a |\psi \rangle|^2$$
\(\phi\)에서 고전 상태 a를 관측할 확률은 $$|\langle a | \phi\rangle|^2 = |\alpha\langle a |\psi \rangle|^2= |\alpha|^2|\langle a |\psi \rangle|^2= |\langle a |\psi \rangle|^2$$
이므로, \(\psi\)에서 관측한 확률과 같다.
즉, 글로벌 위상만 다른 양자 상태는 관측으로 구별할 수 없다.
(참고)양자상태의 확률
예를 들어, 양자 상태의 \(\phi\)에서 \(0\)을 관측할 확률은, \(\phi\)과 \(0\)의 내적을 제곱한 값과 같다.
$$ \begine{align*}|\langle a |\psi \rangle|^2 &={| \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}|}^2 &={|a|}^2 \end{align*}$$
양자상태의 확률을 구하는 방법에 대해서는 퀴스킷 텍스트북의 앞선 챕터의 단일 시스템 -2.2 양자 상태(Single systems -2.2 Measuring quantum states)에서 소개된다.
여기까지가 첫번째 양자정보의 제한인 글로벌 위상의 무관계성에 대한 소개이다.
아직 양자회로를 많이 접해보지 않았다면 전혀 와닿지 않을 수도 있는데,
나중에 양자회로의 연산자들을 배우다보면, 글로벌 위상을 바꾸는 연산자는 쓰이지 않고, 상대 위상만 바꾸는 연산자들만 있다는 것을 알 수 있다. 그 이유가 글로벌 위상은 바꿔도 관계가 없기 때문에 그저 연산을 낭비하는 것이 되기 때문이다.
다음 포스팅에서는 두번째 목차인 양자정보의 복제불가능 정리에 대해서 소개하려고한다.
링크
- 예전 버전의 퀴스킷 텍스트북 - 양자회로의 제한
https://learn.qiskit.org/course/basics/quantum-circuits#quantum-22-0
- 새로운 버전의 퀴스킷 텍스트북 - 양자회로의 제한